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園林與小鳥

 

一位教師向他的一位學生提出以下的問題:

 

a)   在某一個園林裡,有多於一棵樹,而每棵樹上都有多於一隻小鳥。 如果每棵樹上小鳥的數目是相同的,而整個園林有200300隻小鳥,問該園林內共有樹多少棵?

 

那位學生初時不知如何解答,但當教師說出整個園林內有小鳥多小隻,他便知道答案了。

 

問園林內共有樹多少棵?

 

那位教師將題目略作修改,再提出下列問題:

 

b)   在某一個園林裡,有多於一棵樹,而每棵樹上有多於一根樹枝,每根樹枝上有多過一隻小鳥。 現每棵樹上樹枝的數目是相同的,每根樹枝上有數目相同的小鳥,而整個園林有300400隻小鳥,問該園林內共有樹多少棵?

 

那位學生初時也不知如何解答,但當教師說出整個園林內有小鳥多少隻,他便知道答案了。

 

問園林內共有樹多少棵?

 

取自:  http://forum.swarthmore.edu/pow/

 



問題分析

 

a.     每棵樹上的小鳥數目相同,因此

        樹的數目 x 每棵樹上小鳥的數目 = 小鳥的總數

        可用下表顯示

 

樹的數目

每棵樹上小鳥的數目

小鳥的總數

101

2

202

102

2

204

103

2

206

 

但上表有很多個組合,計算變得不可能了。

 

如考慮題目中第二個提示「當教師說出整個園林內有小鳥多小隻,他便知道答案了」,計算變得可行。

 

如果我們知道小鳥的總數是250221

250 = 2 x 125 = 5 x 50   

221 = 13 x 17

我們還是不知道樹有多小棵。如小鳥的總數是221,則可能有1317棵樹。

 

因此,如果我們知道小鳥的總數,便知道園林內樹總數的話,則該數必為兩個相同的質數相乘。

 

因此,該園林內有 17 棵樹,而每棵樹有17隻小鳥。

 

b.          可以用相似的論據便能找出,共有樹 7 棵。因此小鳥的總數是

樹數 x 樹枝 x 鳥數    = 7 x 7 x 7

=  343