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推理

 

引言

        近年來,數學課程改革及教育工作者均達至一共識 他們均同意數學推理技巧是學習數學的一個重要環節 (Resnick & Resnick, 1992) 現行的目標為本課程中,推理便是五種學習及運用知識方法中的一項 (香港課程發展議會,1995, p.41) 美國全國數學教師議會於1989年發表的《數學課程與評估標準》中 (NCTM, 1989, p.15),更將「利用數學作推理工具」列為十三個評估標準之一。 由此可見,現今之數學課程不但照顧到課題的學習,而且更利用這些課題達至推理能力的培養。

        要求學生擁有「利用數學作推理工具」的能力,教師們當然不能只傳授計算技巧或要求學生強記公式。 教師們更需要提供適當之活動,使學生能將所學的知識貫聯起來,以便用文字或語言將推理結果道出,從而避免記憶運算步驟及公式,而不理解計算的方法。 再者,因數學推理技巧是一種思考過程,學生對某些概念的了解必須與某些事物拉上關係。 故此為培訓推理技巧而設的活動,必須深藏於文脈環境( contextual settings ) (NCTM, 1997, p.8)  而這些文脈環境可包括圖形大小及數字型類等,它們均能協助學生發揮思考能力。 因只有在這環境中,學習者才能運用及了解他們所學的知識,培養出解決問題的策略。

 

數學推理與文脈環境

        提起數學推理,我們不難聯想到小學六年級同學常遇到的 「數字推理」 題目。 以下便是一常見之「數字推理」問題。

試根據下列每對數字變化的規律,在最後兩個括號內填上兩個適當的數字。

(1, 8) , (2, 12) , (3, 16) , (4, 20) ,  ...   , (8,  ?),   ...  ( ?,  52)

        對某些同學來說,他們可能很容易便看到每個括號的第一個數字是順序由1填起,而第二個數字則是將第一個數字乘4後再加4 但對於一些同學來說,它們只是一堆無甚意義的數字,對找出它們的規律可說是無從著手。 教師面對這些同學時,通常只能給予答案及要求他們多做練習,可是多做練習並不一定能解答以上的問題,而且很可能產生一些不良的後果。 下列兩條例題便是針對以上的問題而設的。 第一條例題便是說出如何將數字套入文脈環境內,第二條例題則討論學生多做「數字推理」所產生的問題。

 

例一

下列三個大正方形均由較小的白色正方形圍繞著灰色正方形拼砌而成 (見圖一)

1.        依此規律拼砌相似的正方形順序組成多個。 你能否拼砌一正方形而每邊白色正方形的數目剛好是10個?

2.        這個新組成的正方形共用了多少個白色正方形? 又總共用了多少個灰色正方形呢? 這個圖形是系列裡第幾個呢?   

3.        如用52個白色正方形組成的大正方形,這正方形每邊各有白色正方形幾個? 依規律排列,這個圖形又是第幾個? 

4.        如用相同的方法組成一系列的正方形,你能否找出第100個正方形共需白色及灰色正方形多少個? 

5.        你能否找出組成這系列正方形的規律嗎? 你如何知道這規律是正確的呢?

       (NCTM, 1997, p.27)

 

 

圖一

 

        在解答題12時,學生可用實物,如數粒或方格紙,將圖形拼砌或繪畫出來,以便協助他們找出答案。 這樣,他們便很容易找出每邊各有10個白色正方形的圖形共需36個白色正方形和64個灰色正方形組成。 同時,他們能找出該圖形是這系列中的第8個。

        在解答題3時,他們便可以利用已組成的圖形來觀察圖形所組成的規律。 從圖一乙中,學生可能觀察到四邊的白色正方形的數目是灰色正方形每邊數目的四倍再加四 (見圖二)

                                                               

圖二

 

        一部分學生亦可能觀察到以下的關係。 4為大的正方形邊界的數目,則白色及灰色正方形的數目可以下列方法求得。

        白色正方形的數目 =  42 - (4 - 2)2

        灰色正方形的數目 =  (4 - 2)2

        最後在解答題4 5時,學生如欲將推理及計算的過程清楚表達出來,他們便很自然地將結果列表顯示,如下表。

 

灰色正方形

白色正方形

共有正方形

1

1

8

9

2

4

12

16

3

9

16

25

n

n2

4n + 4

(n + 2)2

 

討論()

        在計算這問題時,教師能訓練學生的推理技巧。 同時,教師亦可照顧推理技巧較弱的學生。 學生在計算答案的過程中,需要將正方形特性、圖形變化及數字型類轉變等知識綜合起來,這正是培訓學生掌握推理技巧之一種途徑。 如在學生解答題45後,才要求他們找出這些數字, “ (1, 8) , (2, 12) , (3, 16) , (4, 20) ,  ...   , (8,  ?),   ...  ( ?,  52) ” 的規律變化,學生才覺得答案合理及可理解。 對於能力較弱的學生, 教師只需提供適當的提示,如用方格紙畫圖,便能引導學生找出答案。 再者,這條問題更可改變為一正立方體內藏另一個灰色的正立方體。 題目改為找尋白色及灰色正立方體的數目。 這樣的改變能使能力較高的學生得到較大的挑戰。

 

例二

請閱讀下列幾段文字並解答最後之四條問題。

這題目中所提及的數字都是依一定規律產生的。 34185便是其中兩個。 34之個位及十位之數字相加是 3+4 = 7,結果可以被7整除。 185之個位、十位及百位之數字相加是 1+8+5 = 14,結果又剛可以被7整除。 如我們依這規律由7寫到70“ 7, 16, 25, 34 ” 便是這系列數字中,最初的四個數字,我們稱這組數字為數列L

小明及小玲在討論這問題時,有以下的對話。

小明說:「如我們由7開始填寫數字至70 而規律是每次都將前一個數加9,如7+9=1616+9=25,我們便得到另一組數字。 這些數必能在數列L中找到。」

小玲表示同意,說:「數列L內每一個數均可依照小明這方法而全部列舉出來。」

1.        試找出這數列L “ 7, 16, 25, 34 , a, b, , 70 ” ab的數值,並解釋如何得到答案。

2.        小明所說的是否正確? 試解釋。

3.        小玲所說的是否正確? 試解釋。

4.        小明及小玲是否在說著相同的事?試解釋。

        (Galbraith, 1995, p.413)

 

        大部分的學生都很容易便找到ab的數值為4352,但他們的解釋便直接影響以下三條問題的答案。 如他們列出數的方法與小明一樣的話,數列內可能只包括以下的數 “7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70 ” ,而很明顯地將5968漏了。

        學生在決定小明的說話是否正確時,通常都己列舉出所有的數。 所以只要學生能找出正確的ab值,均能証明小明的說話是正確的。

        小玲的提議是不正確的。 在決定小玲的說話是否正確時,學生可以有兩個方法。 其一是必須知道數列L包括兩類數, 一類是個位及十位數字之和是7,另一類是個位及十位數字之和是14 其二是跟據題目所示的方法,將每個數檢查一次,但大部份學生都忽略了以上兩點。 他們通常只考慮數字推理題目所常見的情況 數與數之間必有一固定規律。 在這條題目來說,他們便誤以為將前一個數加9便可列舉數列L所有的數。

        小明及小玲當然不是說相同的事。 學生只須列出5968作反証便可。 但學生如能自己或經引導找出頭三條問題的答案,在解答第四、五條問題時,也可能用一個統計方法或完全根據觀察作答。 如他們可能說:「小玲只是答對了一半,因為她忽略了一些數。」, 他們忘記推理時需要用邏輯及數學原理作辯論。 再者他對只用一、兩個例子作反証,在數學上這是不接受的。

 

討論()

        在觀察學生解答以上問題時,有幾點值得留意的。 其一是學生常用預想的概念來解答問題。 學生在分析他們的猜測時經常不理會題目的假設,甚至忽視了他們的猜測與題目資料之矛盾。 其二是學生對使用反証的方法非常陌生。 相信學生對構成反証例子的條件並不明確。 反証例子必須滿足題目的條件,但並不滿足推理的結論。 如否定小玲的建議時,59正好是一個適當的反証例子。

 

推理及高層次思維技巧 (Higher Order Thinking Skills)

        以上兩個例子的主要目的是培訓學生的思考及推理能力。 但很多老師均覺得這種推理技巧只會在能力較高的學生上發現及培養。 近年來的教育研究人員發現這並不正確 (Resnick, 1987)

        近年來,從事教研工作的人員,在探究人類獲得思考及學習能力時,統稱這種優越推理及解難能力為高層次思維技巧。 雖然他們不能很清晰地定義高層次思維是什麼,但卻能將這能力的特色描述出來。 這些能力的特色包括非常規之演算法(nonalgorithmic) 判斷細微差別、根據多重規範對複雜的情況作出分析及自動調整思考過程等 (Resnick, 1987)  雖然學生並不容易獲得這能力,但教研工作者均認為高層次思維技巧是可經教授而獲得的 (Resnick, 1987) 再者,高層次思維技巧的獲得並不只局限於高年級學生,低年級如小學一年級學生亦可經適當的教授而達至上列的結果。

 

結語

        我們相信如學生擁有推理技巧或高層次思維技巧是可令他們得到額外的利益及糾正他們對數學不正確的信念。 例如要求他們給答案一個合理的解釋,這可迫使他們以數學作出一個合邏輯的結論。 同時,他們更可將己學過各項數學知識聯貫起來。 至於不正確的觀念,如數學須要強記及重覆教師的計算步驟、數學問題只有一個解及數學之計算規則或演算法只能由有權威的人仕頒佈的 (Galbraith, 1995) 這些不正確的觀念均能因推理技巧之增長而得到糾正。 最後我們希望學生在經過推理技巧的訓練後覺得數學是實用及有意義的,從而體驗到他們自己也能創造各種演算的方法。


參考文獻

 

Galbraith, P.L. (1995). Mathematics as Reasoning. Mathematics Teacher, 88(5), pp.412-417.

 

National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA.. : NCTM.

 

National Council of Teachers of Mathematics (1997). A Framework for Constructing a Vision of Algebra: A Discussion Document. Reston, VA.. : NCTM.

 

Resnick, L.B. (1987). Education and Learning to think (pp. 1-15, 44-50). National Academy Press.

 

Resnick, L.B. & Resnick, D.P. (1992). Assessing the thinking curriculum: New tools for education reform. In Gifford, B.R. & O’Connor(Eds.). Changing assessment (pp. 37-76). Mass: Kluwer Academic Press.

 

香港課程發展議會 (1983). 小學課程綱要 數學科. 香港:教育署.

 

香港課程發展議會 (1995).  數學科學習綱要 (第一學習階段 ). 香港:教育署.