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儲物櫃

有一所小學共有一千名學生及編號由一至一千的儲物櫃。 某天數學科的陳老師提出下列問題。

 

假如所有學生都齊集在操場上,然後,順序地由第一位同學將所有的儲物櫃門都打開,第二位同學則將編號二及以後的雙數編號儲物櫃門關好,第三位同學則將編號三及以後編號是3的倍數儲物櫃門打開,如櫃門己打開則將它關上。 第四位同學則將編號四及以後編號是4的倍數儲物櫃門打開,如櫃門己打開則將它關上,第五位至第一千位同學都會做相同的活動。

 

問最後有幾多個儲物櫃門是打開的及它們的編號是什麼?

 

取自: Krulik, S. & Rudnick, J.A. (1993). Reasoning and Problem Solving – A Handbook for Elementary School Teachers (pp.17). Boston: Allyn and Bacon.


 


問題分析

我們嘗試將首二十位同學活動的情況記錄,用O代表開,而C代表關。

 

儲物櫃編號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

學生

編號

1

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

 

 

O

2

 

C

O

C

O

C

O

C

O

C

O

C

O

C

O

C

O

C

O

C

3

 

 

C

C

O

O

O

C

C

C

O

O

O

C

C

C

O

O

O

C

4

 

 

 

O

O

O

O

O

C

C

O

C

O

C

C

O

O

O

O

C

5

 

 

 

 

C

O

O

O

C

O

O

C

O

C

O

O

O

O

O

O

6

 

 

 

 

 

C

O

O

C

O

O

O

O

C

O

O

O

C

O

O

7

 

 

 

 

 

 

C

O

C

O

O

O

O

O

O

O

O

C

O

O

8

 

 

 

 

 

 

 

C

C

O

O

O

O

O

O

C

O

C

O

O

9

 

 

 

 

 

 

 

 

O

O

O

O

O

O

O

C

O

O

O

O

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

O

O

O

O

O

C

O

O

O

C

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

O

O

O

O

C

O

O

O

C

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

O

O

O

C

O

O

O

C

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

O

O

C

O

O

O

C

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

O

C

O

O

O

C

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

C

O

O

O

C

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

O

O

O

C

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

O

O

C

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

O

C

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

O

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

從上表得知,在首二十位同學後,部分儲物櫃已知道會必然打開的。

它們是1, 4, 9, 16號儲物櫃。 這些編號是正方形數。

因此我們知道在一千位同學活動後,下列編號的儲物櫃門是打開的。

 

這些編號是    1,    4,    9,    16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,

121, 144, 169, 196  225, 256, 289, 324, 361, 400,

441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961

 

因此共有 31 個儲物櫃門是開著的。